„Norii nu sunt sfere, munții nu sunt conuri… Natura prezintă nu doar un grad mai înalt de complexitate, ci un nivel cu totul diferit de complexitate” – Benoît Mandelbröt în Geometria fractală a naturii.

„Haos: imprevizibilitatea inerentă în comportamentul unui sistem natural complex” – Dicționar Merriam-Webster.

Teoria haosului este o contradicție încântătoare, o știință a prezicerii comportamentului unor sisteme “inerent imprevizibile”. Este un set de instrumente matematice care ne permit să identificăm structuri frumos ordonate dintr-o mare de haos pentru a înţelege funcționarea unor sisteme naturale complexe, precum ar fi inima omului sau traiectoriile asteroizilor.

Teoria haosului este unul dintre cele mai minunate domenii ale matematicii moderne.

În centrul teoriei haosului se află ideea fascinantă că ordinea și haosul nu sunt întotdeauna diametral opuse. Deşi sistemele haotice prezintă din exterior un comportament imprevizibil, comportamentul acestora în interior poate fi descris de un set de ecuații perfect deterministe precum funcţionarea unui ceas.

În unele sisteme, efectele ordonate apar ca urmare a unor cauze turbulente și haotice.

Cum este posibil ca o variaţie minoră la o scară mică să producă un haos la o scară mare? Cum putem explica diferenţele dintre variaţiile aleatorii și tiparele ordonate care sunt ascunse în haos?

Fluturii fac diferența

„Micile variații… nu se repetă niciodată și afectează în mare măsură rezultatul” – Jeff Goldblum (Ian Malcolm – Jurassic Park.

Teoria haosului

Ceea ce începe ca o bătaie de aripi se poate încheia, metaforic vorbind, într-un uragan.

În anul 1961, un meteorolog pe numele lui Edward Lorenz a făcut o descoperire extraordinară.

Lorenz folosea computerul în încercarea de a prezice mai exact vremea. El a creat un model matematic care, pe baza unui set de numere reprezentând condițiile meteo curente, putea prezice vremea.

Cu ajutorul acestui program de computer, Lorenz a realizat prognoze pe termen lung, introducând de mai multe ori prognoza vremii în computer pentru a obţine, la fiecare rulare a programului, o nouă prognoză în viitor.

Previziunile exacte de la minut la minut s-au transformat în previziuni de la o zi la alta și apoi de la o săptămână la alta.

Într-o zi Lorenz a decis să efectueze din nou una dintre prognozele sale. Pentru a economisi timp, el a decis să nu mai înceapă de la zero, în schimb el a utilizat predicția computerului de la jumătatea primei rulări a programului pe care a folosit-o ca punct de plecare.

După o pauză de cafea, Lorenz s-a întors la computer şi a descoperit ceva neașteptat. Deși noile predicții ale computerului au început la fel ca înainte, cele două seturi de predicții au început curând să difere drastic.

Ce era greşit?

Lorenz a înţeles motivul. Computerul afişa predicțiile cu 3 zecimale, rotunjind numerele interne care aveau 6 zecimale. Așadar, în timp ce Lorenz a început a doua rulare a programului cu numărul 0,506, la rularea inițială el folosise numărul 0,506127.

Deși condițiile meteorologice de pornire au fost practic identice, cele două predicții difereau radical.

Efectul fluturelui

Efectul fluturelui. Credit: Cloudtail

Lorenz tocmai găsise semințele haosului. În sistemele care se comportă frumos, fără efecte haotice, micile variaţii produc doar efecte minore. În acest caz, ecuațiile lui Lorenz au făcut ca erorile să crească constant în timp.

Aceasta a însemnat că micile erori în măsurarea vremii nu au rămas mici, ci s-au mărit, în mod neobișnuit, de fiecare dată când au fost introduse înapoi în computer, până când au schimbat complet previziunile meteo.

Lorenz a ilustrat acest efect prin celebra analogie cu un fluture care, atunci când bate din aripi, provoacă un uragan pe cealaltă parte a planetei.

Uraganul Isabel

Uraganul Isabel. Credit: Wikimedia Commons.

Putem înţelege acest “efect al fluturelui” dacă ne gândim la jocul de biliard. Oricât de atenţi am fi la prima lovitură, cea mai mică variaţie de viteză și unghi cu care lovim bila albă va face ca celelalte bile să se împrăștie în direcții foarte diferite de fiecare dată.

Cele mai mici variaţii produc efecte mari. Acesta este semnul distinctiv al unui sistem haotic.

Trebuie remarcat faptul că legile fizicii care determină modul în care se mișcă bilele de biliard sunt precise și lipsite de ambiguitate: ele nu permit efecte aleatorii.

Ceea ce la prima vedere pare a fi un comportament aleatoriu este complet determinist. Pare doar întâmplător, deoarece schimbările imperceptibile fac toată diferența.

Rata cu care aceste mici diferențe se acumulează oferă fiecărui sistem haotic un orizont de predicție, o perioadă de timp dincolo de care nu mai putem prognoza, cu exactitate, comportamentul acestuia.

În cazul vremii, orizontul de predicție este în prezent de aproximativ o săptămână datorită instrumentelor și modelelor de măsurare mult îmbunătățite.

Acum 50 de ani, orizontul de predicție era de 18 ore. Două săptămâni este considerată limita pe care am putea-o atinge vreodată cu ajutorul computerelor.

În mod surprinzător, Sistemul Solar este un sistem haotic, cu un orizont de predicție de o sută de milioane de ani. El a fost primul sistem haotic descoperit, cu mult înainte de a exista o teorie a haosului.

În anul 1887, matematicianul francez Henri Poincaré a arătat că deşi teoria gravitaţiei a lui Newton poate prezice perfect modul cum se vor deplasa două corpuri planetare sub influenţa atracției lor gravitaţionale, ecuaţiile de mişcare în cazul adăugării unui al treilea corp nu pot fi rezolvate.

Cel mai bun lucru pe care îl putem face în cazul a trei corpuri este să prezicem mișcările lor moment cu moment și să introducem acele predicții din nou în ecuațiile noastre…

Deși mişcarea planetelor are un orizont de predicție îndelungat, efectele haosului nu pot fi ignorate, pentru că interacțiunea gravitaţională complexă dintre planete are o influență mare asupra traiectoriilor asteroizilor.

Urmele impactului cometei Shoemaker-Levy 9 cu planeta Jupiter

Urmele impactului cometei Shoemaker-Levy 9 cu planeta Jupiter. Sistemul Solar este un sistem haotic. Credit: Wikimedia Commons

Un comportament neobişnuit

Stabilitatea este dorită în multe situaţii, cum ar fi zborul. Aeronavele comerciale sunt stabile din punct de vedere aerodinamic, astfel încât micile turbulenţe, asociate cu “efectul fluturelui” să nu modifice traiectoria avionului. Este necesară o modificare semnificativă a zborului pentru o schimbare majoră în mișcarea avionului.

Pe de altă parte, această stabilitate este oarecum un inconvenient pentru piloții avioanelor militare care preferă ca aeronava lor să permită schimbări rapide de direcţie cu un efort minim.

Avioanele de vânătoare moderne au o mare manevrabilitate ca urmare a faptului că sunt instabile din punct de vedere aerodinamic. În consecință, ele sunt echipate cu computere de bord care reglează, constant și delicat, suprafețele de zbor pentru a anula “efectul fluturelui”, dând libertatea pilotului să zboare aşa cum îşi doreşte.

În anumite situaţii, instabilitatea se poate transforma într-un avantaj.

Avion militar de luptă

Avion militar de luptă

Cheia pentru înţelegerea structurii ascunse a unui sistem haotic constă în determinarea setului său preferat de comportamente, cunoscut matematicienilor sub numele de “atractorul” sistemului.

Matematicianul Ian Stewart a folosit următorul exemplu pentru a ilustra ce este un astfel de “atractor”.

Imaginați-vă că daţi drumul la o minge de ping-pong deasupra mării. Ea va cădea. Dacă îi daţi drumul sub apă, atunci ea va pluti. Indiferent de situaţie, mingea se va deplasa imediat, într-un mod foarte previzibil, spre “atractorul” său, în acest caz suprafața mării.

Odată ajunsă acolo, mingea se va agăţa de “atractor” şi se va mişca haotic înainte și înapoi.

Chiar dacă nu putem prezice exact modul cum se va comporta un sistem haotic în fiecare moment, cunoscând “atractorul” său putem restrânge posibilitățile. De asemenea, putem prezice cu exactitate modul cum va răspunde sistemul dacă nu mai este legat de “atractorul” său.

În matematică, ”spațiul fazelor” descrie comportamentele posibile ale unui sistem.

Spațiul fazelor nu este (întotdeauna) ca spațiul obișnuit, fiecare locație din spațiul fazelor corespunde unei configurații diferite a sistemului.

Comportamentul sistemului poate fi observat plasând un punct în locația care reprezintă configurația de pornire și urmărind cum acel punct se deplasează prin spațiul fazelor.

În spațiul fazelor, un sistem stabil se va deplasa, în mod previzibil, către un “atractor” foarte simplu, care va arăta ca un singur punct în spațiul fazelor dacă sistemul are o singură configurație sau ca o buclă simplă dacă sistemul trece prin diferite configurații, în mod repetat.

De asemenea, un sistem haotic se va deplasa, în mod previzibil, către “atractorul” din spațiul fazelor, dar în loc de puncte sau bucle simple, forma “atractorului” în acest caz poate deveni complexă, fractală.

Matematica fractală, al cărei pionier a fost matematicianul Benoît Mandelbröt, ne permite să studiem comportamentul preferat al unui astfel de sistem, chiar dacă forma incredibil de complexă a “atractorului” ne împiedică să prezicem exact cum va evolua sistemul.

Atractor având o formă complexă

“Atractor” cu o formă complexă. Credit: Wikipedia

Spațiul fazelor poate părea destul de abstract, dar o aplicație importantă a acestuia constă în înțelegerea bătăilor inimii. Milioanele de celule care formează inima se contractă și se relaxează, în mod constant, ca parte a unui sistem haotic complicat.

Toate aceste milioane de celule trebuie să funcționeze sincron, contractându-se în secvența potrivită, la momentul potrivit, pentru a produce o bătaie sănătoasă a inimii.

Din fericire, această stare complexă de sincronizare este un “atractor” al sistemului, dar nu este singurul. Dacă sistemul este afectat cumva, el se poate afla sub influenţa unui alt “atractor”, denumit fibrilație, în care celulele inimii se contractă și se relaxează într-o secvență greșită.

Rolul unui defibrilator, dispozitivul care aplică o tensiune electrică mare asupra inimii, nu este să “repornească” celulele cardiace, ci mai degrabă să ofere sistemului haotic o lovitură suficient de puternică pentru a-l îndepărta de “atractorul” fibrilant și a-l aduce înapoi la “atractorul” sănătos al bătăilor inimii.

O inimă haotică oferă avantajul faptului că variațiile minuscule ale modul în care milioanele de celule ale inimii se contractă servesc pentru o distribuţie mai uniformă a efortului, reducând astfel uzura inimii și asigurând o funcţionare în siguranţă cu zeci de ani mai mult decât ar fi posibil altfel.

Ordinea din haos

„Universalitatea a făcut diferența între frumos și util” – James Gleick, Haos

Teoria Haosului nu este utilă doar matematicienilor. Ea este utilizată de specialiști din diverse domenii: fizicieni, biologi, informaticieni și economiști.

Sistemele haotice pot fi găsite aproape oriunde, ele având multe caracteristici comune, indiferent de locul în care provin.

Este suficient să vă gândiţi la un robinet de scurgere al apei sau la heliul lichid super-răcit pe care îl utilizează acceleratorul de particule LHC (Large Hadron Collider) ca agent de răcire.

La început, ambele sisteme nu sunt haotice, dar pe măsură ce încălzim încet heliul, celule mici de convecție vor începe să se formeze, iar pe măsură ce deschidem lent robinetul, picăturile de apă vor forma un debit continuu.

În cele din urmă, creșterea temperaturii și a debitului vor declanşa haosul în heliul fierbinte, respectiv în apa tulburată.

Uimitor, trecerea de la ordine la haos în aceste sisteme este descrisă de exact același număr – constanta Feigenbaum.

De la robinete până la acceleratoare de particule, de la inimile care bat până la mişcarea planetelor, haosul este permanent în jurul nostru.

Teoria haosului a atras atenția tuturor asupra unor lucruri pe care am crezut că le-am înțeles și ne-a arătat că natura este mult mai complexă și mai surprinzătoare decât ne-am fi imaginat vreodată.

Traducere şi adaptare după What is Chaos Theory?